题目内容
已知矩形ABCD中，AB=3，BC=4，将△ACD沿着AC折成120°的二面角，则B，D两点的距离为 ．
考点：与二面角有关的立体几何综合题
专题：空间角
分析：作出二面角，∴∠DOE=120°，在△DOE中，计算DE2 ，在△DEC中，cos∠DEC的值，∠DEB与∠DEC互补，cos∠DEB=-cos∠DEC，在△BDE中，计算DB．
解答：
解：在矩形ABCD中，作DE⊥AC，交AC于O，AB=3，BC=4，∴AC=5，在Rt△ACD中，OD⊥AC，OD=
，
在Rt△DOC中，OD=
，CD=3，∴OC=
，OA=AC-OC=
，
△AOD∽△COE，对应边成比例得：OE=
，CE=
，另BE=BC-CE=
，
将△ACD沿着AC折成120°的二面角，∠DOE即二面角的平面角，∴∠DOE=120°，在△DOE中，由余弦定理，DE2=OD2+OE2-2OD•OEcos∠DOE=
，在△DEC中，cos∠DEC=
=
，cos∠DEB=-cos∠DEC，在△BDE中，
DB2=BE2+DE2-2BE•DEcos∠DEB=(
)2+
+2×
×
×
=
∴DB=
．
故答案为
．
解：在矩形ABCD中，作DE⊥AC，交AC于O，AB=3，BC=4，∴AC=5，在Rt△ACD中，OD⊥AC，OD=| 12 |
| 5 |
在Rt△DOC中，OD=
| 12 |
| 5 |
| 9 |
| 5 |
| 16 |
| 5 |
△AOD∽△COE，对应边成比例得：OE=
| 27 |
| 20 |
| 9 |
| 4 |
| 7 |
| 4 |
将△ACD沿着AC折成120°的二面角，∠DOE即二面角的平面角，∴∠DOE=120°，在△DOE中，由余弦定理，DE2=OD2+OE2-2OD•OEcos∠DOE=
| 4329 |
| 400 |
| DE2+OE2-OD2 |
| 2DE•OE |
| 306 | ||
10
|
DB2=BE2+DE2-2BE•DEcos∠DEB=(
| 7 |
| 4 |
| 4329 |
| 400 |
| 7 |
| 4 |
|
| 306 | ||
10
|
| 481 |
| 25 |
∴DB=
| ||
| 5 |
故答案为
| ||
| 5 |
点评：本题考查二面角的平面角计算，作出二面角的平面角，构造三角形，利用余弦定理解决是关键，运算量非常大．
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