Question

9．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sinωxcosωx-cos²ωx+$\frac{3}{2}$（ω∈R）的最小正周期为π，且图象关于直线x=$\frac{π}{6}$对称．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函数g（x）=f（-x））+a（0$≤x≤\frac{π}{2}$）有且只有一个零点，求实数a的取值范围；
（3）若x₁，x₂是（2）中函数g（x）的两个不同零点，求证：x₁+x₂=$\frac{2π}{3}$．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式及变形，两角差的正弦公式化简解析式，由三角函数的周期公式、正弦函数的对称轴分别列出方程，求出ω的值可得f（x）的解析式；
（2）由（1）化简g（x），由x的范围2x-$\frac{π}{6}$的范围，由正弦函数的图象与性质求出$sin（2x-\frac{π}{6}）$的范围，将
g（x）的零点问题转化为两个函数图象的交点问题，由条件和正弦函数的图象列出不等式，求出实数a的取值范围；
（3）由（2）和正弦函数的对称性证明出结论．

解答 解：（1）由题意得，f（x）=$\sqrt{3}$sinωxcosωx-cos²ωx+$\frac{3}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2ωx-\frac{1}{2}（1+cos2ωx）+\frac{3}{2}$=$sin（2ωx-\frac{π}{6}）+1$，
∵f（x）的最小正周期为π，∴$\frac{2π}{2|ω|}=π$，则ω=±1，
∵图象关于直线x=$\frac{π}{6}$对称，
∴$2ω×\frac{π}{6}-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}+kπ（k∈Z）$，得ω=2+3k（k∈Z），即ω=-1，
∴f（x）=$sin（-2x-\frac{π}{6}）+1$=$-sin（2x+\frac{π}{6}）+1$；
（2）由（1）得，g（x）=f（-x）+a=$sin（2x-\frac{π}{6}）+1+a$，
∵0$≤x≤\frac{π}{2}$，∴$-\frac{π}{6}≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{5π}{6}$，则$-\frac{1}{2}≤sin（2x-\frac{π}{6}）≤1$，
∵函数g（x）=f（-x）+a（0$≤x≤\frac{π}{2}$）有且只有一个零点，
∴y=$sin（2x-\frac{π}{6}）$和y=-1-a的图象有且仅有一个交点，
∴$-\frac{1}{2}≤-1-a＜\frac{1}{2}$或-1-a=1，
解得$-\frac{3}{2}＜a≤-\frac{1}{2}$或a=-2，
∴实数a的取值范围是{a|a=-2或$-\frac{3}{2}＜a≤-\frac{1}{2}$}；
证明：（3）∵x₁，x₂是函数g（x）的两个不同零点，
∴由（2）得，$2{x}_{1}-\frac{π}{6}$与$2{x}_{2}-\frac{π}{6}$关于直线x=$\frac{π}{2}$对称，
∴$2{x}_{1}-\frac{π}{6}$+（$2{x}_{2}-\frac{π}{6}$）=$2×\frac{π}{2}$，
化简得x₁+x₂=$\frac{2π}{3}$．

点评 本题考查了二倍角公式及变形、两角差的正弦公式，正弦函数的图象与性质的应用，以及函数零点的转化，考查整体思想，转化思想，化简、变形能力．