Question

20．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上，DE⊥EB，且AD=2$\sqrt{3}$，AE=6
（1）证明：直线AC与△BDE的外接圆相切；
（2）求EC的长．

Answer 1

分析 （1）取BD的中点为O，连接OE，由角平分线的定义和两直线平行的判定和性质，结合圆的切线的定义，即可得证；
（2）设△BDE的外接圆的半径为r，运用直角三角形的勾股定理，和直角三角形的性质，即可得到所求EC的长．

解答 解：（1）证明：取BD的中点为O，连接OE，
由BE平分∠ABC，可得∠CBE=∠OBE，
又DE⊥EB，即有OB=OE，可得∠OBE=∠BEO，
可得∠CBE=∠BEO，即有BC∥OE，
可得∠AEO=∠C=90°，
则直线AC与△BDE的外接圆相切；
（2）设△BDE的外接圆的半径为r，
在△AOE中，OA²=OE²+AE²，
且$AD=2\sqrt{3}，AE=6$
即（r+2$\sqrt{3}$）²=r²+6²，
解得r=2$\sqrt{3}$，OA=4$\sqrt{3}$，
由OA=2OE，可得∠A=30°，∠AOE=60°，
可得∠CBE=∠OBE=30°，BE=2rsin60°=$\sqrt{3}$r，
则EC=$\frac{1}{2}$BE=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{3}$r=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×2$\sqrt{3}$=3．

点评 本题考查圆的切线的定义，内角平分线的定义和勾股定理的运用，考查推理能力和运算能力，属于中档题．