在直角坐标系xOy中.曲线C1的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{2}t}\\{y=2+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$.以原点为极点.以x轴的正半轴为极轴.建立极坐标系.曲线C2的极坐标方程为ρ=$\frac{2}{\sqrt{1+3si{n}^{2}θ}}$.(Ⅰ)求曲线C1的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

4．在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{2}t}\\{y=2+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），以原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρ=$\frac{2}{\sqrt{1+3si{n}^{2}θ}}$，
（Ⅰ）求曲线C₁的普通方程和曲线C₂的直角坐标方程；
（Ⅱ）设点M（0，2），曲线C₁与曲线C₂交于A，B两点，求|MA|•|MB|的值．

分析（Ⅰ）运用代入法，消去t，可得曲线C₁的普通方程；由x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入极坐标方程，即可得到所求直角坐标方程；
（Ⅱ）将直线的参数方程代入曲线C₂的直角坐标方程，运用参数的几何意义，由韦达定理可得所求之积．

解答解：（Ⅰ）曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{2}t}\\{y=2+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），
由代入法消去参数t，可得曲线C₁的普通方程为y=-$\sqrt{3}$x+2；
曲线C₂的极坐标方程为ρ=$\frac{2}{\sqrt{1+3si{n}^{2}θ}}$，
得ρ²=$\frac{4}{1+3si{n}^{2}θ}$，即为ρ²+3ρ²sin²θ=4，
整理可得曲线C₂的直角坐标方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（Ⅱ）将$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{2}t}\\{y=2+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），
代入曲线C₂的直角坐标方程$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1得
13t²+32$\sqrt{3}$t+48=0，
利用韦达定理可得t₁•t₂=$\frac{48}{13}$，
所以|MA|•|MB|=$\frac{48}{13}$．

点评本题考查参数方程和普通方程的互化，极坐标方程和直角坐标方程的互化，考查直线参数方程的运用，以及韦达定理的运用，属于基础题．

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