Question

17．已知函数$f（x）=\frac{{\sqrt{|x|}}}{e^x}$（x∈R），若关于x的方程f（x）-m+1=0恰好有3个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（　　）

• A． $（1，\frac{{\sqrt{2e}}}{2e}+1）$
• B． $（0，\frac{{\sqrt{2e}}}{2e}）$
• C． $（1，\frac{1}{e}+1）$
• D． $（\frac{{\sqrt{2e}}}{2e}，1）$

Answer 1

分析 讨论x的范围，求函数的导数，研究函数的单调性和极值，利用数形结合进行求解即可．

解答 解：当x≤0时，$f（x）=\frac{{\sqrt{-x}}}{e^x}$为减函数，f（x）_min=f（0）=0；
当x＞0时，$f（x）=\frac{{\sqrt{x}}}{e^x}$，$f'（x）=\frac{1-2x}{{2\sqrt{x}{e^x}}}$，
则$x＞\frac{1}{2}$时，f'（x）＜0，$0＜x＜\frac{1}{2}$时，f'（x）＞0，即f（x）在$（{0，\;\;\frac{1}{2}}）$上递增，在$（{\frac{1}{2}，\;\;+∞}）$上递减，
$f{（x）_{极大值}}=f（{\frac{1}{2}}）=\frac{{\sqrt{2e}}}{2e}$．
其大致图象如图所示，

若关于x的方程f（x）-m+1=0恰好有3个不相等的实数根，
则$0＜m-1＜\frac{{\sqrt{2e}}}{2e}$，即$1＜m＜1+\frac{{\sqrt{2e}}}{2e}$，
故选：A．

点评 本题主要考查函数根的个数的判断，利用函数与方程之间的关系转化为两个函数的交点问题，求函数的导数，利用数形结合进行求解是解决本题的关键．