题目内容
已知椭圆C: 
+
=1(a>b>0)的焦距为4,且过点P(
,
).
(1)求椭圆C的方程;
(2)设Q(x0,y0)(x0y0≠0)为椭圆C上一点.过点Q作x轴的垂线,垂足为E.取点A(0,2),连接AE,过点A作AE的垂线交x轴于点D.点G是点D关于y轴的对称点,作直线QG,问这样作出的直线QG是否与椭圆C一定有唯一的公共点?并说明理由.
解:(1)因为焦距为4,
所以a2-b2=4.
又因为椭圆C过点P(,),
所以
+
=1,
故a2=8,b2=4,
从而椭圆C的方程为
+
=1.
(2)一定有唯一的公共点.
由题意,E点坐标为(x0,0).
设D(xD,0),则
=(x0,-2),
=(xD,-2).
再由AD⊥AE知,·=0,
即xDx0+8=0.
由于x0y0≠0,故xD=-
.
因为点G是点D关于y轴的对称点,所以点G（,0）.
故直线QG的斜率kQG=
=
.
又因Q(x0,y0)在椭圆C上,
所以
+2
=8.①
从而kQG=-
.
故直线QG的方程为
y=-（x-）.②
将②代入椭圆C方程,得
(+2)x2-16x0x+64-16=0.③
再将①代入③,化简得
x2-2x0x+=0.
解得x=x0,y=y0,
即直线QG与椭圆C一定有唯一的公共点.
练习册系列答案
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,sin x),x∈R.
),证明:a和b不平行;
-
=1的一个焦点与圆x2+y2-10x=0的圆心重合,且双曲线的离心率等于
,则该双曲线的标准方程为 . 
=3,则C的方程为( )
+y2=1 (B)
+
=1
+ 
=1 (D)
+
+
=1的离心率为( )
(B)
(C)
(D)
.
的直线被C所截线段的中点坐标.
）2+y2=
相切于点Q,且
=2
,则椭圆C的离心率等于( )
(B)
(C)
+
=1(a>b>0),抛物线C2:x2+by=b2.
,
b）,又M,N为C1与C2不在y轴上的两个交点,若△AMN的垂心为B（0,
b）,且△QMN的重心在C2上,求椭圆C1和抛物线C2的方程.