Question

设椭圆C1: +=1(a>b>0),抛物线C2:x2+by=b2.

(1)若C2经过C1的两个焦点,求C1的离心率;

(2)设A(0,b),Q（3,b）,又M,N为C1与C2不在y轴上的两个交点,若△AMN的垂心为B（0,b）,且△QMN的重心在C2上,求椭圆C1和抛物线C2的方程.

Answer 1

解:(1)因为抛物线C2经过椭圆C1的两个焦点F1(-c,0),F2(c,0),

可得c2=b2,

由a2=b2+c2=2c2,

有=,

所以椭圆C1的离心率e=.

(2)由题设可知M,N关于y轴对称,

设M(-x1,y1),N(x1,y1)(x1>0),

则由△AMN的垂心为B,有·=0.

所以-+（y1-b）(y1-b)=0.①

由于点N(x1,y1)在C2上,

故有+by1=b2.②

由①②得y1=-或y1=b(舍去),

所以x1=b,

故M（-b,-）,N（b,- ）,

所以△QMN的重心坐标为（,）.

由重心在C2上得3+=b2,

所以b=2,

M（-,-）,N（,-）.

又因为M,N在C1上,

所以+=1,

解得a2=.

所以椭圆C1的方程为+=1.

抛物线C2的方程为x2+2y=4.