Question

设二次函数f（x）=ax²+bx+c，集合A={x|f（x）=x}={1，2}，且f（0）=2．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求当x∈[0，m]（m＞0）时，f（x）的值域．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法,函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由f（0）=2可得：c=2，由A={1，2}可得：1，2中方程f（x）=x的根，即方程ax²+（b-1）x+2=0的根，由韦达定理可得a，b的值，进而得到二次函数f（x）的解析式；
（2）根据m与对称轴的关系，分类讨论即可

解答： 解：（1）∵f（0）=2，
∵c=2，
又∵A={1，2}，
∴1，2中方程f（x）=x的根，即方程ax²+（b-1）x+2=0的根，
由韦达定理得：1+2=

1-b

a

，1×2=

2

a

，
解得：a=1，b=-2，
∴f（x）=x²-2x+2．
（2）∵f（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1，
当0＜m＜1时，
函数f（x）在（0，m]上为减函数，
∴f（m）≤f（x）＜f（0），
即m²-2m+2≤f（x）＜2，
当1≤m＜2时，
函数f（x）在（0，1]上为减函数，在[1，m]上为增函数，且f（0）＞f（m）
∴f（1）≤f（x）＜f（0），
即1≤f（x）＜2，
当m≥2时，
函数f（x）在（0，1]上为减函数，在[1，m]上为增函数，且f（0）＜f（m）
∴f（1）≤f（x）≤f（m），
即1≤f（x）≤2m²-2m+2，
综上所述，当0＜m＜1时，值域为[m²-2m+2，2）
当1≤m＜2时，值域为[1，2），
当m≥2时，值域为[1，m²-2m+2]

点评：本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．