Question

已知等比数列{x_n}的各项为不等于1的正数，数列{y_n}满足y_n=2log_ax_n（a＞0且a≠1），已知y₄=17，y₇=11．
（1）证明：数列{y_n}是等差数列；
（2）问数列{y_n}的前多少项的和最大，最大值为多少？

Answer 1

考点：等差数列的性质,等差数列的前n项和,等差关系的确定

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件推导出y_n-1-y_n=2log_aq为常数，从而证明{y_n}是等差数列；
（2）求出{y_n}是首项为23，公差为-2的等差数列，进而求出y_n=23+（n-1）•（-2）=25-2n，设{y_n}的前n项和为T_n，T_n=-n²+24n=-（n-12）²+144，由此求出当n=12时，前12项和最大，最大值为144．

解答： 解：（1）设数列{x_n}的公比为q，则x_n=x₁q^n-1，
∴y_n=2log_ax_n=2log_ax₁+2（n-1）log_aq，
∴y_n-1-y_n=2log_ax₁+2nlog_aq-[2log_ax₁+2（n-1）log_aq]=2log_aq为常数，
∴{y_n}是等差数列；
（2）设公差为d，由y₄=17，y₇=11，
可得y₁+3d=17，y₁+6d=11
解得y₁=23，d=-2，
∴y_n=23+（n-1）•（-2）=25-2n，
设{y_n}的前n项和为T_n，
T_n=

n(23+25-2n)

2

=-n²+24n=-（n-12）²+144，
∴当n=12时，前12项和最大，最大值为144．

点评：本题考查等差数列的判断，考查数列的前n项和最大值的求法，求出数列的通项是关键．