Question

已知数列{a_n}的前n项之积T_n满足条件：①{

1

Tn

}为首项为2的等差数列；②T₂-T₅=

1

6

．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）设数列{b_n}满足b_n=

n n+2

-a_n，其前n项和为S_n．求证：对任意正整数n，有0＜S_n＜

1

4

．

Answer 1

考点：数列的求和,数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由等差数列的通项公式和题意求出数列{

1

Tn

}公差d，再由等差数列的通项公式求出

1

Tn

，即可求出T_n，由题意可得当n≥2时，an=

Tn

Tn-1

，代入化简并验证n=1时是否成立即可；
（2）把a_n代入b_n=

n n+2

-a_n利用分子有理化进行化简，判断出b_n＞0再得S_n＞0，再利用

n n+2

＞

n

n+1

对
b_n放大：bn=

n2 (n+2)n - n2 (n+1)2

n n+2 + n n+1

＜

n2 (n+2)n - n2 (n+1)2

2× n n+1

，利用裂项相消法可得到S_n＜

1

4

．

解答： 解：（1）设数列{

1

Tn

}公差为d，
因为数列{

1

Tn

}首项为2，所以T2=

1

2+d

，T5=

1

2+4d

，
由方程T2-T5=

1

6

可得

1

2+d

-

1

2+4d

=

1

6

，解得d=1，
所以

1

Tn

=2+(n-1)×1=n+1，即Tn=

1

n+1

，
因为数列{a_n}的前n项之积T_n，
所以当n≥2时，an=

Tn

Tn-1

=

1 n+1

1 n

=

n

n+1

，
当n=1时，a1=T1=

1

2

符合，所以an=

n

n+1

，

证明：（2）由（1）得，
bn=

n n+2

-an=

n n+2

-

n

n+1

=

n n+2 -( n n+1 )2

n n+2 + n n+1

=

n2 (n+2)n - n2 (n+1)2

n n+2 + n n+1

＞0，
所以数列{b_n}前n项和S_n＞0，
同由上面可知：

n n+2

＞

n

n+1

，bn=

n2 (n+2)n - n2 (n+1)2

n n+2 + n n+1

＜

n2 (n+2)n - n2 (n+1)2

2× n n+1

=

n2 (n+2)n(n+1)2

2× n n+1

=

1

2(n+1)(n+2)

=

1

2

(

1

n+1

-

1

n+2

)，
所以

Sn=b1+b2+b3+…+bn＜ 1 2 [( 1 2 - 1 3 )+( 1 3 - 1 4 )+…+( 1 n+1 - 1 n+2 )]

= 1 2 ( 1 2 - 1 n+2 )＜ 1 4

，
综上可得，0＜S_n＜

1

4

．

点评：本题考查等差数列的通项公式，裂项相消法求数列的和，利用放缩法证明数列与不等式的问题，考查灵活变形、化简能力，属于难题．