Question

已知函数f（x）=

1

4x

-

λ

2x-1

+3（-1≤x≤2）．
（1）若λ=

3

2

时，求函数f（x）的值域；
（2）若函数f（x）的最小值是1，求实数λ的值．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义,函数的值域

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）化简f(x)=

1

4x

-

λ

2x-1

+3=(

1

2

)2x-2λ•(

1

2

)x+3（-1≤x≤2），再利用换元法得g（t）=t²-2λt+3（

1

4

≤t≤2）；从而代入λ=

3

2

求函数的值域；
（2）g（t）=t²-2λt+3=（t-λ）²+3-λ²（

1

4

≤t≤2），讨论λ以确定函数的最小值及最小值点，从而求λ．

解答： 解：（1）f(x)=

1

4x

-

λ

2x-1

+3=(

1

2

)2x-2λ•(

1

2

)x+3（-1≤x≤2）
设t=(

1

2

)x，得g（t）=t²-2λt+3（

1

4

≤t≤2）．
当λ=

3

2

时，g(t)=t2-3t+3=(t-

3

2

)2+

3

4

（

1

4

≤t≤2）．
所以g(t)max=g(

1

4

)=

37

16

，g(t)min=g(

3

2

)=

3

4

．
所以f(x)max=

37

16

，f(x)min=

3

4

，
故函数f（x）的值域为[

3

4

，

37

16

]．

（2）由（1）g（t）=t²-2λt+3=（t-λ）²+3-λ²（

1

4

≤t≤2）
①当λ≤

1

4

时，g(t)min=g(

1

4

)=-

λ

2

+

49

16

，
令-

λ

2

+

49

16

=1，得λ=

33

8

＞

1

4

，不符合舍去；
②当

1

4

＜λ≤2时，g(t)min=g(λ)=-λ2+3，
令-λ²+3=1，得λ=

2

，或λ=-

2

＜

1

4

，不符合舍去；
③当λ＞2时，g（t）_min=g（2）=-4λ+7，
令-4λ+7=1，得λ=

3

2

＜2，不符合舍去．
综上所述，实数λ的值为

2

．

点评：本题考查了函数的值域的求法及函数的最值的应用，属于基础题．