Question

已知等差数列{a_n}的前S_n项和为S_n，a₁=3，{b_n}为等比数列，且b₁=1，b_n＞0，b₂+S₂=10，S₅=5b₃+3a₂，n∈N^*
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n•b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；
（2）利用“错位相减法”、等比数列的其前n项和公式即可得出．

解答： 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，等比数列{b_n}的公比为q，
由b₂+S₂=10，S₅=5b₃+3a₂，n∈N^*，可得：

b1q+2a1+d=10 5a1+ 5×4 2 ×d=5b1q2+3(a1+d)

，
解得q=2或q=-

17

5

（舍），
∴d=2．
∴数列{a_n}的通项公式是a_n=2n+1．
数列{b_n}的通项公式是bn=2n-1．
（2）a_nb_n=（2n+1）×2^n-1．
T_n=3+5×2+7×2²+…+（2n+1）×2^n-1，
∴2T_n=3×2+5×2²+…+（2n-1）×2^n-1+（2n+1）×2ⁿ，
∴-T_n=3+2×（2+2²+…+2^n-1）-（2n+1）×2ⁿ=3+2×

2(2n-1-1)

2-1

-（2n+1）×2ⁿ=2ⁿ⁺¹-1-（2n+1）×2ⁿ，
∴T_n=（2n-1）×2ⁿ+1．（n∈N^*）．

点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．