Question

已知数列{a_n}满足a₁=

1

2

，

1

an+1

+

2

an

=（-1）ⁿ（n∈N^*）．
（1）求证数列{

1

an

-（-1）ⁿ}（n∈N^*）是等比数列；
（2）设b_n=

1

an2

（n∈N^*），求数列{b_n}前n项和S_n；
（3）设c_n=-2ⁿa_na_n+1，数列{c_n}的前n项和为T_n，求证T_n＜

1

3

（n∈N^*）．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）

1

an+1

+

2

an

=（-1）ⁿ（n∈N^*），变形为

1

an+1

-(-1)n+1=-2(

1

an

-(-1)n)，利用等比数列的定义即可证明；
（2）利用等比数列的通项公式即可得出；
（3）利用“裂项求和”即可证明．

解答： （1）证明：∵

1

an+1

+

2

an

=（-1）ⁿ（n∈N^*），
∴

1

an+1

-(-1)n+1=-2(

1

an

-(-1)n)，
∴数列{

1

an

-（-1）ⁿ}（n∈N^*）是等比数列；
（2）解：由（1）可得

1

an

-（-1）ⁿ=(

1

a1

+1)（-2）^n-1=3•（-2）^n-1，
∴

1

an

=3（-2）^n-1+（-1）ⁿ，
∴b_n=

1

an2

=[3×2^n-1-1]²=9×4^n-1-3×2ⁿ+1，
∴数列{b_n}前n项和S_n=

9(4n-1)

4-1

-

3×2×(2n-1)

2-1

+n=3×4ⁿ-3×2ⁿ⁺¹+3+n．
（3）c_n=-2ⁿa_na_n+1=

2n

[3×(-2)n-1+(-1)n][3×(-2)n+(-1)n+1]

=

2n

(3×2n-1-1)(1-3×2n)

=

2

3

(

1

3×2n-1-1

-

1

3×2n-1

)．
∴数列{c_n}的前n项和为T_n=

2

3

[(

1

2

-

1

5

)+(

1

5

-

1

11

)+…+(

1

3×2n-1-1

-

1

3×2n-1

)]=

2

3

[

1

2

-

1

3×2n-1

]＜

1

3

．

点评：本题考查了等比数列的定义及其通项公式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于难题．