如图.已知点M在圆O:x2+y2=4上运动.MN⊥y轴.点Q在NM的延长线上.且|QN|=2|MN|．(Ⅰ)求动点Q的轨迹方程,(Ⅱ)直线l:y=$\frac{1}{2}$x+m与(Ⅰ)中动点Q的轨迹交于两个不同的点A和B.圆O上存在两点C.D.满足|CA|=|CB|.|DA|=|DB|．(ⅰ)求m的取值范围,(ⅱ)求当$\frac{|CD|}{|AB|}$取得最小值时直线l的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

6．

如图，已知点M在圆O：x²+y²=4上运动，MN⊥y轴（垂足为N），点Q在NM的延长线上，且|QN|=2|MN|．
（Ⅰ）求动点Q的轨迹方程；
（Ⅱ）直线l：y=$\frac{1}{2}$x+m与（Ⅰ）中动点Q的轨迹交于两个不同的点A和B，圆O上存在两点C、D，满足|CA|=|CB|，|DA|=|DB|．
（ⅰ）求m的取值范围；
（ⅱ）求当$\frac{|CD|}{|AB|}$取得最小值时直线l的方程．

分析（Ⅰ）设M（x₀，y₀），丨QN丨=2丨MN丨，则x=2x₀，y=2y₀，代入圆的方程，即可求得动点Q的轨迹方程；
（Ⅱ）（ⅰ）代入椭圆方程，由△＞0，求得m的取值范围，利用韦达定理及中点坐标公式，及|CA|=|CB|，|DA|=|DB|，即可求得m的取值范围；
（ⅱ）由弦长公式，求得丨AB丨及直线2x+y+$\frac{3m}{2}$=0与圆的相交弦丨CD丨，求得$\frac{|CD|}{|AB|}$的表达式，求得$\frac{|CD|}{|AB|}$的最小值，即可求得m的值，求得直线l的方程．

解答解：（Ⅰ）设动点Q（x，y），点M（x₀，y₀），
由点M（x₀，y₀）在圆x²+y²=4上，则x₀²+y₀²=4，
由丨QN丨=2丨MN丨，则x=2x₀，y=2y₀，
把x₀=$\frac{x}{2}$，y₀=y代入x₀²+y₀²=4，
得动点Q的轨迹方程为$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．（4分）
（Ⅱ）（ⅰ）联立直线l与（Ⅰ）中的轨迹方程得$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，
∴x²+2mx+2m²-8=0，由于有两个交点A、B，故△＞0，解得丨m丨＜2$\sqrt{2}$，①（5分）
设A（x₁，y₁），B（x₁，y₁），AB的中点E（x，y），由根与系数的关系得x₁+x₂=-m，$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=-m}\\{y=\frac{1}{2}×（-m）+m=\frac{m}{2}}\end{array}\right.$
则$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=-m}\\{y=\frac{1}{2}×（-m）+m=\frac{m}{2}}\end{array}\right.$，
故AB的垂直平分线方程为y-$\frac{m}{2}$=-2（x+m），即2x+y+$\frac{3m}{2}$=0．（6分）
由圆O上存在两点C、D，满足丨CA丨=丨CB丨，丨DA丨=丨DB丨，
可知AB的垂直平分线与圆O交于C、D两点，由直线与圆的位置关系可得$\frac{丨\frac{3m}{2}丨}{\sqrt{5}}$＜2，
解得：丨m丨＜$\frac{4\sqrt{5}}{3}$，②
由①、②解得丨m丨＜2$\sqrt{2}$，
∴m的取值范围是-2$\sqrt{2}$＜m＜2$\sqrt{2}$．（8分）
（ⅱ）由（ⅰ）知$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=-2m}\\{{x}_{1}{x}_{2}=2{m}^{2}-8}\end{array}\right.$，
则丨AB丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•丨x₁-x₂丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$，
=$\sqrt{1+（\frac{1}{2}）^{2}}$•$\sqrt{4{m}^{2}-4（2{m}^{2}-8）}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$×$\sqrt{32-4{m}^{2}}$，（9分）
又直线2x+y+$\frac{3m}{2}$=0与圆的相交弦丨CD丨=2$\sqrt{{2}^{2}-（\frac{丨\frac{3m}{2}丨}{\sqrt{5}}）^{2}}$=2$\sqrt{\frac{80-9{m}^{2}}{20}}$，（10分）
∴$\frac{丨CD丨}{丨AB丨}$=$\frac{2\sqrt{\frac{80-9{m}^{2}}{20}}}{\frac{\sqrt{5}}{2}×\sqrt{32-4{m}^{2}}}$=$\frac{2}{5}$•$\sqrt{\frac{80-9{m}^{2}}{32-4{m}^{2}}}$=$\frac{2}{5}$•$\sqrt{\frac{9}{4}+\frac{2}{8-{m}^{2}}}$，
由（ⅰ）-2$\sqrt{2}$＜m＜2$\sqrt{2}$，故当m=0时，$\frac{丨CD丨}{丨AB丨}$=$\frac{2}{5}$•$\sqrt{\frac{9}{4}+\frac{2}{8-{m}^{2}}}$，取得最小值，（11分）
故直线l方程为y=$\frac{1}{2}$x．（12分）