Question

某班学生参加科普知识竞赛，成绩的频率分布直方图如图，数据的分布组依次为[50，70），[70，90），[90，110），[110，130），[130，150），已知成绩低于90分的学生人数为10人．
（1）求成绩不低于130分的学生人数n；
（2）成绩不低于130分的这n名学生，继续选择甲、乙两组题目进行表演赛，约定：每人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去选择哪组题目，掷出点数位1或2的人选择甲组，掷出点大于2的人选择乙组题目．
（Ⅰ）求这n名同学中恰有2人选择甲组题目的概率；
（Ⅱ）用X，Y分别表示这n名同学中选择甲、乙组题目的人数，记ξ=|X-Y|，求随机变量的分布列与数学期望Eξ．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,频率分布直方图,古典概型及其概率计算公式

专题：综合题,概率与统计

分析：（1）求出绩低于90分的学生的频率，利用成绩低于90分的学生人数为10人，可得参加科普知识竞赛的人数，求出成绩不低于130分的频率，即可得出结论；
（2）（Ⅰ）求出每个人去参加甲游戏的概率，去参加乙游戏的人数的概率．设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件A_i（i=0，1，2，3，4），故P（A₂）=

C

2 4

(

1

3

)2(

2

3

)2，由此能求出这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率．
（Ⅱ）ξ的所有可能取值为0，2，4，由于A₁与A₃互斥，A₀与A₄互斥，求出相应的概率，可得ξ的分布列与数学期望．

解答： 解：（1）成绩低于90分的学生的频率为（0.0075+0.005）×20=0.25，
∵成绩低于90分的学生人数为10人，
∴参加科普知识竞赛共有

10

0.25

=40人，
成绩不低于130分的频率为1-（0.02+0.0125+0.0075+0.005）×20=0.1，
∴成绩不低于130分的学生人数n=0.1×40=4人；
（2）（Ⅰ）依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为

1

3

，去参加乙游戏的人数的概率为

2

3

．
设“这4个人中恰有2人去参加甲游戏”为事件A_i（i=0，1，2，3，4），
∴这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为P（A₂）=

C

2 4

(

1

3

)2(

2

3

)2=

8

27

．
（Ⅱ）ξ的所有可能取值为0，2，4，由于A₁与A₃互斥，A₀与A₄互斥，
故P（ξ=0）=P（A₂）=

8

27

，
P（ξ=2）=P（A₁）+P（A₃）=

40

81

，
P（ξ=4）=P（A₀）+P（A₄）=

17

81

，
∴ξ的分布列是

ξ	0	2	4
P	8 27	40 81	17 81

数学期望Eξ=0×

8

27

+2×

40

81

+4×

17

81

=

148

81

．

点评：本题考查概率知识的求解，考查频率分布直方图，考查互斥事件的概率公式，考查离散型随机变量的分布列与期望，属于中档题．