Question

11．已知等差数列{a_n}的公差d≠0，前n项和为S_n，且满足S₄=16，a₂，a₅，a₁₄成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=3^a_n+（-1）ⁿ•a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．
（II）${b_n}={3^{a_n}}+{（{-1}）^n}•{a_n}={3^{2n-1}}+{（{-1}）^n}•（{2n-1}）$．对n分类讨论求和即可得出．

解答 解：（Ⅰ）因为{a_n}为等差数列，S₄=16，
所以${S_4}=4{a_1}+\frac{4×3}{2}d=16$，即2a₁+3d=8①
又因为a₂，a₅，a₁₄成等比数列，则${（{a_1}+4d）^2}=（{a_1}+d）•（{a_1}+13d）$
整理得$2{a_1}d={d^2}$②…（4分）
由①②且d≠0得a₁=1，d=2，所以a_n=2n-1…（6分）
（Ⅱ）∵${b_n}={3^{a_n}}+{（{-1}）^n}•{a_n}={3^{2n-1}}+{（{-1}）^n}•（{2n-1}）$．
∴${T_n}=（{3^1}+{3^3}+…+{3^{2n-1}}）+[-1+3-5+7-…+{（-1）^n}（2n-1）]$，
当n为偶数时，${T_n}=\frac{{3（1-{9^n}）}}{1-9}+\frac{n}{2}•2=\frac{1}{8}•{3^{2n+1}}+n-\frac{3}{8}$…（9分）
当n为奇数时，${T_n}=\frac{{3（1-{9^n}）}}{1-9}+\frac{n-1}{2}•2-（2n-1）=\frac{1}{8}•{3^{2n+1}}-n-\frac{3}{8}$…（12分）

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．