Question

6．已知f（x）是定义在R上的函数，f（x）=$\frac{1}{3}$x³+ax（a∈R），且曲线f（x）在x=$\frac{1}{2}$处的切线与直线y=-$\frac{3}{4}$x-1平行．
（1）求a的值．
（2）若函数y=f（x）-m在区间[-3，$\sqrt{3}$]上有三个零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出导函数f'（x）=x²+a，利用曲线f（x）在$x=\frac{1}{2}$处的切线与直线$y=-\frac{3}{4}x-1$平行，列出方程求解a即可．
（2）利用导数判断函数的单调性，通过函数y=f（x）-m在区间$[{-3，\sqrt{3}}]$上有三个零点，等价于函数f（x）在$[{-3，\sqrt{3}}]$上的图象与y=m有三个公共点．结合函数f（x）在区间$[{-3，\sqrt{3}}]$上大致图象求解实数m的取值范围即可．

解答 解：（1）f'（x）=x²+a（1分）
因为曲线f（x）在$x=\frac{1}{2}$处的切线与直线$y=-\frac{3}{4}x-1$平行，
所以$f'（\frac{1}{2}）=\frac{1}{4}+a=-\frac{3}{4}$，（3分）
所以a=-1．（4分）
（2）由$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-x$，得f'（x）=x²-1，
令f'（x）=0，得x=±1．（6分）
当-3＜x＜-1时，f'（x）＞0；
当-1＜x＜1时，f'（x）＜0；
当$1＜x＜\sqrt{3}$时，f'（x）＞0，
f（x）在（-3，-1），$（1，\sqrt{3}）$单调递增，
在（-1，1）单调递减．
又$f（-3）=-6，f（-1）=\frac{2}{3}，f（1）=-\frac{2}{3}，f（\sqrt{3}）=0$．（10分）
若函数y=f（x）-m在区间$[{-3，\sqrt{3}}]$上有三个零点，
等价于函数f（x）在$[{-3，\sqrt{3}}]$上的图象与y=m有三个公共点．
结合函数f（x）在区间$[{-3，\sqrt{3}}]$上大致图象可知，
实数m的取值范围是$（{-\frac{2}{3}，0}]$．（12分）

点评 本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的求法，考查数形结合思想的应用，考查计算能力．