Question

已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n=k•2^n-1+1，
（1）求S₅的值；
（2）若数列{b_n}满足b_n=log₂|a_n|，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的前n项和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得a₁=S₁=k+1，a₂=S₂-S₁=k，a₃=S₃-S₁=2k，从而k²=（k+1）•2k，由此求出k，从而能求出S₅．
（2）由a_n=（-1）•2^n-1=-2^n-1，得b_n=log₂|a_n|=n-1，由此能求出T_n．

解答： 解：（1）∵等比数列{a_n}的前n项和为S_n=k•2^n-1+1，
∴a₁=S₁=k+1，
a₂=S₂-S₁=（2k+1）-（k+1）=k，
a₃=S₃-S₁=（4k+1）-（2k+1）=2k，
∵{a_n}是等比数列，∴a22=a1a3，
∴k²=（k+1）•2k，解得k=0（舍）或k=-2，
∴S₅=（-2）•2⁴+1=-31．
（2）由（1）得a₁=-1，a₂=-2，a₃=-4，
∴a_n=（-1）•2^n-1=-2^n-1，
∴b_n=log₂|a_n|=n-1，
∴T_n=（1+2+3+…+n）-n
=

n(n+1)

2

-1
=

n2-n

2

．

点评：本题考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质、分组求和法的合理运用．