Question

13．函数f（x）的定义域为R，并满足以下条件：
①对任意x∈R，有f（x）＞0； ②对任意x、y∈R，有f（xy）=[f（x）]^y；  ③f（$\frac{1}{3}$）＞1
（1）求f（0）的值；
（2）判断f（x）的在R上单调性并说明理由；
（3）若f（2）=2，且x满足f（$\frac{1}{2}$）≤f（x）≤f（2），求函数y=2f（2log₂x）+$\frac{1}{{f（2{{log}_2}x）}}$的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）根据条件f（xy）=[f（x）]^y；令x=$\frac{1}{3}$，y=0，可得f（0），
（2）利用赋值法求f（1），然后根据指数函数的性质确定函数的单调性．
（3）利用换元法和导数法，判断函数的最值进行求解即可．

解答 解：（1）因为f（x）＞0，任意的x，y∈R，f（xy）=[f（x）]^y，所以令x=$\frac{1}{3}$，y=0，
则f（0）=[f（$\frac{1}{3}$）]⁰=1，即f（0）=1．
（2）令$x=\frac{1}{3}，y=3$得$f（1）=f（\frac{1}{3}×3）={[f（\frac{1}{3}）]}^{3}$，因为f（$\frac{1}{3}$）＞1，所以$f（1）=f（\frac{1}{3}×3）={[f（\frac{1}{3}）]}^{3}＞1$．
令x=1，则f（xy）=f（y）=[f（1）]^y，
即f（x）=[f（1）]^x，为底数大于1的指数函数，所以函数f（x）在R上单调递增．
（3）∵函数f（x）在R上单调递增，
∴由f（$\frac{1}{2}$）≤f（x）≤f（2），得$\frac{1}{2}$≤x≤2，
由$\frac{1}{2}$≤2log₂x≤2，得$\frac{1}{4}$≤log₂x≤1，
令t=log₂x，则$\frac{1}{4}$≤t≤1，
若f（2）=2，则f（2）=[f（1）]²=2，即f（1）=$\sqrt{2}$，
则f（x）=（$\sqrt{2}$）^x，
则函数等价为y=2f（2t）+$\frac{1}{f（2t）}$=2•（$\sqrt{2}$）^2t+$\frac{1}{（\sqrt{2}）^{2t}}$=2•2^t+$\frac{1}{{2}^{t}}$，
再设m=2^t，则${2}^{\frac{1}{4}}$≤m≤2，
则函数等价为y=2m+$\frac{1}{m}$，则y′=2-$\frac{1}{{m}^{2}}$=$\frac{2{m}^{2}-1}{{m}^{2}}$，
由y′=0得2m²-1=0得m=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
则当m=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，函数y=2m+$\frac{1}{m}$取得极小值同时也是最小值为y=$2×\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}$，
当m=2时，y=4+$\frac{1}{2}$=$\frac{9}{2}$，
当m=${2}^{\frac{1}{4}}$时，y=2•${2}^{\frac{1}{4}}$+$\frac{1}{{2}^{\frac{1}{4}}}$=${2}^{\frac{5}{4}}$+${2}^{-\frac{1}{4}}$＜$\frac{9}{2}$，
故函数的最大值为$\frac{9}{2}$，最小值为2$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查抽象函数的应用和性质，利用赋值法是解决抽象函数的基本方法，综合性较强，运算量较大．