Question

【题目】如图，在四棱锥中，平面，四边形为平行四边形，且，.

（1）证明：平面

（2）当直线与平面所成角的正切值为时，求锐二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）在四边形中，由平面几何知识，易证，再由平面，得到，根据线面垂直的判定定理证明平面.

（2）根据（1）知平面，得到是直线与平面所成角，由直线与平面所成角的正切值为，得到，从而，然后以A为原点，分别以AB，AC，在平面中，过A垂直于AB的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，已知是平面的一个法向量，再求得平面的一个法向量，利用二面角的向量公式求解.

（1）∵四边形为平行四边形，

∴，，

∴在△中，由余弦定理得，

∴.

∴，即，

又∵平面，∴，

又∵

∴平面

（2）由（1）知，是直线与平面所成角，，

∴，

又∵平面，

∴

∴△是等腰直角三角形，如图建立空间直角坐标系：

则有：，

由已知是平面的一个法向量，

设平面的一个法向量为，，，

，

，

，

∴锐二面角的余弦值