题目内容
【题目】如图，在三棱柱
中，
为正三角形，
，
， 
，点
在线段
上，且
.
（1）证明：
；
（2）求
和平面
所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
(1)要证明
,只需证明
平面
,只需证明
,由
，
，所以
，所以
,因为
，所以，又
,则易证.(2) 取
中点
，证明
平面
，建立空间直角坐标系，
和平面
所成角的正弦值就是
和设平面的一个法向量
所成角的余弦值
（1）证明：由，，所以，所以，
因为，所以，
又，
.
所以平面，所以.
（2）解：由（1）知
，又
，所以
，
又
，
，所以
平面
，
平面，所以平面
平面.
取中点，由
为正三角形知
，
平面
，
又平面
平面
，所以平面，
以为坐标系原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设平面的一个法向量，则
且
，
所以
，取
，则
，
，
.
所以
，
所以直线和平面所成角的正弦值为.
练习册系列答案
备战中考寒假系列答案
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【题目】某学校为了了解该校高三年级学生寒假在家自主学习的情况，随机对该校300名高三学生寒假的每天学习时间（单位：h）进行统计，按照
，
，
，
，
的分组作出频率分布直方图如图所示．
（Ⅰ）根据频率分布直方图计算该校高三年级学生的平均每天学习时间（同一组中的数据用该组区间中点值代表）；
（Ⅱ）该校规定学习时间超过4h为合格，否则不合格．已知这300名学生中男生有140人，其中合格的有70人，请补全下表，根据表中数据，能否有99.9%的把握认为该校高三年级学生的性别与学习时长合格有关？
男生 | 女生 | 总计 | |
不合格 | |||
合格 | 70 | ||
总计 | 140 | 160 | 300 |
参考公式：
，其中
．
参考附表：
| 0.050 | 0.010 | 0.001 |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
