题目内容
【题目】已知直线与抛物线
相交于
两点,点
是抛物线
的准线与以
为直径的圆的公共点,则下列结论正确的是( )
A.B.
C.
D.
的面积为
【答案】ABC
【解析】
由题意可知,抛物线的准线为
,利用抛物线的几何性质求出
和抛物线
的方程和焦点坐标
,结合直线
的方程可知,直线
经过焦点
,利用抛物线的定义表示出以
为直径的圆的半径和圆心
,由
得到关于
的方程,解方程求出
,利用抛物线的定义和点到直线的距离分别求出
的长度和
的面积,据此即可判断.
由题意知,抛物线的准线为
,即
,解得
,故选项A正确;
因为,所以抛物线
的方程为:
,其焦点为
,
又直线,即
,所以直线
恒过抛物线的焦点
,
设点,因为
两点在抛物线
上,
联立方程,两式相减可得,
,
设的中点为
,则
,因为点
在直线
上,
解得可得,所以点
是以
为直径的圆的圆心,
由抛物线的定义知,圆的半径
,
因为,所以
,
解得,故选项B正确;
因为,所以弦长
,故选项C正确;
因为,所以直线
为
,由点到直线的距离公式可得,
点到直线
的距离为
,所以
,
故选项D错误;
故选:ABC
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