Question

1．正数a、m、b构成公差为-$\frac{1}{2}$的等差数列，a，b的等比中项是2$\sqrt{5}$，则双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的离心率为（　　）

• A． $\frac{5}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{41}}{4}$
• C． $\frac{5}{4}$
• D． $\frac{\sqrt{41}}{5}$

Answer 1

分析 根据题意，由等差数列．等比数列的性质可得a=b+1①和ab=20②，联立①②解可得：a=5，b=4，即可得双曲线的标准方程，由双曲线离心率公式计算可得答案．

解答 解：根据题意，正数a、m、b构成公差为-$\frac{1}{2}$的等差数列，则有a=b+1，①
a，b的等比中项是2$\sqrt{5}$，则有ab=20，②
联立①②解可得：a=5，b=4，
则双曲线的方程为：$\frac{{x}^{2}}{25}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1，
则c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{41}$，
则其离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{41}}{5}$；
故选：D．

点评 本题考查双曲线的几何性质，涉及等差、等比数列的通项公式，关键是求出a、b的值．