Question

2．已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为$\frac{1}{2}$，上顶点与右焦点的距离为2，
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设直线y=kx+2与椭圆C交于A．B两点，点D（t，0）满足|DA|=|DB|，且t∈[-$\frac{\sqrt{3}}{6}$，-$\frac{1}{4}$]，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据椭圆的离心率a=2c，且a=2，b²=a²-c²=3，即可求得椭圆方程；
（Ⅱ）将直线方程代入椭圆方程，由△＞0，即可求得k的取值范围，由（$\overrightarrow{DA}$+$\overrightarrow{DB}$）•$\overrightarrow{AB}$=0，求得t，根据t的取值范围，即可求得k的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）由题意可知：e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，则a=2c，
由上顶点与右焦点的距离为2，则a=2，
c=1，b²=a²-c²=3，
∴椭圆的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，整理得：（3+4k²）x²+16kx+4=0，
由x₁+x₂=-$\frac{16k}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4}{3+4{k}^{2}}$，
由△=256k²-4×4（3+4k²）＞0，解得：k＜-$\frac{1}{2}$，k＞$\frac{1}{2}$，
∵|DA|=|DB|，
则（$\overrightarrow{DA}$+$\overrightarrow{DB}$）•$\overrightarrow{AB}$=0，解得：t=-$\frac{2k}{4{k}^{2}+3}$，
t∈[-$\frac{\sqrt{3}}{6}$，-$\frac{1}{4}$]，则-$\frac{\sqrt{3}}{6}$≤-$\frac{2k}{4{k}^{2}+3}$≤-$\frac{1}{4}$，
整理得：$\left\{\begin{array}{l}{4{k}^{2}-8k+3≤0}\\{4{k}^{2}-4\sqrt{3}k+3≥0}\end{array}\right.$，
由k＜-$\frac{1}{2}$，k＞$\frac{1}{2}$，则$\frac{1}{2}$＜k≤$\frac{3}{2}$，
∴实数k的取值范围（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]．

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的应用，考查计算能力，属于中档题．