Question

已知椭圆的中心在坐标原点，左焦点为F（-

3

，0），右顶点为D（2，0），设点A（2，2）．
（Ⅰ）求这个椭圆的标准方程；
（Ⅱ）P是椭圆上的动点，求线段PA中点M的轨迹方程；
（Ⅲ）过点（-1，0）的直线L交椭圆于点B，C，求△ABC面积等于4的直线L的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知得椭圆的半长轴a=2，半焦距c=

3

，则半短轴b=1．又椭圆的焦点在x轴上，由此能求出椭圆的标准方程．
（Ⅱ）由点A（2，2），设P（2cosθ，sinθ），线段PA中点M（x，y），且

x=1+cosθ y=1+ 1 2 sinθ

，由此能求出线段PA中点M的轨迹方程．
（Ⅲ）设过点（-1，0）的直线L的方程为y=k（x+1），联立

y=k(x+1) x2 4 +y2=1

，得（4k²+1）x²+8k²x+4k²-4=0，由此利用弦长公式和点到直线的距离公式能求出直线的方程．

解答： 解：（Ⅰ）由已知得椭圆的半长轴a=2，
半焦距c=

3

，则半短轴b=1．
又椭圆的焦点在x轴上，
∴椭圆的标准方程为

x2

4

+y2=1．
（Ⅱ）∵点A（2，2），P是椭圆

x2

4

+y2=1上的动点，
∴设P（2cosθ，sinθ），
∴线段PA中点M（x，y），且

x=1+cosθ y=1+ 1 2 sinθ

，
∴线段PA中点M的轨迹方程为：（x-1）²+4（y-1）²=1．
（Ⅲ）设过点（-1，0）的直线L的方程为y=k（x+1），
联立

y=k(x+1) x2 4 +y2=1

，得（4k²+1）x²+8k²x+4k²-4=0，
设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），则x₁+x₂=

-8k2

4k2+1

，x₁x₂=

4k2-4

4k2+1

，
|BC|=

(1+k2)[( -8k2 4k2+1 )2-4× 4k2-4 4k2+1 ]

，
点A（2，2）到直线y=k（x+1）的距离d=

|k-2|

k2+1

，
∵△ABC面积等于4，
∴S_△ABC=

1

2

d|BC|=

1

2

×

|k-2|

k2+1

×

(1+k2)[( -8k2 4k2+1 )2-4× 4k2-4 4k2+1 ]

=4，
解得k=0，
∴直线L的方程为y=0．

点评：本题考查椭圆的标准方程、线段PA中点M的轨迹方程和直线L的方程的求法，解题时要认真审题，注意弦长公式和点到直线的距离公式的合理运用．