Question

已知命题p：m²-m＜0，命题q：

y2

2

+

x2

1+4m2

=1表示焦点在y轴上的椭圆．
（Ⅰ）若p∧q是真命题，求实数m的取值范围；
（Ⅱ） 若椭圆

y2

2

+

x2

1+4m2

=1的焦点到双曲线

x2

2

-

y2

2

=1的渐近线的距离为

2

2

，求m的值．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质,椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（I）由命题p：m²-m＜0，解得0＜m＜1．命题q：

y2

2

+

x2

1+4m2

=1表示焦点在y轴上的椭圆，则2＞1+4m²＞0，解得-

1

2

＜m＜

1

2

．由于p∧q是真命题，可得p，q都是真命题．求其交集即可得出．
（2）由双曲线

x2

2

-

y2

2

=1可得渐近线y=±x．取y=x．由椭圆

y2

2

+

x2

1+4m2

=1可得焦点(0，±

1-4m2

)．
取(0，

1-4m2

)．利用点到直线的距离公式即可得出．

解答： 解：（I）由命题p：m²-m＜0，解得0＜m＜1．
命题q：

y2

2

+

x2

1+4m2

=1表示焦点在y轴上的椭圆，则2＞1+4m²＞0，解得-

1

2

＜m＜

1

2

．
∴p∧q是真命题，∴p，q都是真命题．
∴

0＜m＜1 - 1 2 ＜m＜ 1 2

，解得0＜m＜

1

2

．
∴实数m的取值范围是(0，

1

2

)．
（II）由双曲线

x2

2

-

y2

2

=1可得渐近线y=±x．
取y=x．
由椭圆

y2

2

+

x2

1+4m2

=1可得焦点(0，±

1-4m2

)．
取(0，

1-4m2

)．
∵椭圆

y2

2

+

x2

1+4m2

=1的焦点到双曲线

x2

2

-

y2

2

=1的渐近线的距离为

2

2

，
∴

|0- 1-4m2 |

2

=

2

2

，
解得m=0．
∴m=0．

点评：本题考查了复合命题的真假、椭圆与双曲线的标准方程及其性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．