Question

在各项均为正数的等比数列{a_n}中，a₁=2，且2a₁，a₃，3a₂成等差数列．
（Ⅰ） 求等比数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ） 若数列{b_n}满足b_n=11-2log₂a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n的最大值．

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）设数列{a_n}的公比为q，由等差中项和等比数列的通项公式列出方程，结合题意求出q的值，再代入等比数列的通项公式化简；
（Ⅱ）由（Ⅰ）和题意化简 b_n，并判断出数列{b_n}是等差数列，求出首项和公差，代入等差数列的前n项和公式，再对T_n进行配方，根据二次函数的性质求出它的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）设数列{a_n}的公比为q，a_n＞0
因为2a₁，a₃，3a₂成等差数列，所以2a₁+3a₂=2a₃，
即2a1+3a1q=2a1q2，
所以2q²-3q-2=0，解得q=2或q=-

1

2

（舍去），
又a₁=2，所以数列{a_n}的通项公式an=2n．

（Ⅱ）由题意得，b_n=11-2log₂a_n=11-2n，
则b₁=9，且b_n+1-b_n=-2，
故数列{b_n}是首项为9，公差为-2的等差数列，
所以Tn=

n(9+11-2n)

2

=-n2+10n=-（n-5）²+25，
所以当n=5时，T_n的最大值为25．

点评：本题考查等差中项和等比数列的通项公式，等差数列的前n项和公式，以及利用二次函数的性质求出等差数列的前n项和的最大值，注意n的取值范围．