Question

13．有限非空数集A满足条件：若a∈A，则$\frac{1}{1-a}$∈A（a≠1）．
（1）若2∈A，试写出A中的其他元素；
（2）自己设计一个满足条件的集合A，用列举法表示出来；
（3）从上面的解答中，你能得出什么结论？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据条件进行递推即可得到A中其他所有元素．
（2）不妨设x=3，求出A中其他所有元素
（3）根据（1）（2）的元素特点得到结论并证明

解答 解：（1）若2∈A，则$\frac{1}{1-2}$=-1∈A，$\frac{1}{1+1}$=$\frac{1}{2}$∈A，$\frac{1}{1-\frac{1}{2}}$=2∈A，
即A中其他所有元素为-1，$\frac{1}{2}$．
（2）若3∈A，则 $\frac{1}{1-3}$=-$\frac{1}{2}$∈A，$\frac{1}{1+\frac{1}{2}}$=$\frac{2}{3}$∈A，$\frac{1}{1-\frac{2}{3}}$=3∈A，
即A中其他所有元素-$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$．
（3）A中只有三个元素a，$\frac{1}{1-a}$，$\frac{a-1}{a}$，且三个数的乘积为-1．
证明：a∈A，则$\frac{1}{1-a}$∈A（a≠1且$\frac{1}{1-a}$≠1）
则 $\frac{1}{1-\frac{1}{1-a}}$=$\frac{a-1}{a}$∈A，且$\frac{a-1}{a}$≠1，
进而 $\frac{1}{1-\frac{a-1}{a}}$=a∈A，
∵a≠$\frac{1}{1-a}$（若a=$\frac{1}{1-a}$，即a²-a+1=0，此时方程无解）
∴$\frac{1}{1-a}$≠$\frac{a-1}{a}$，
∴A中只有3个元素a，$\frac{1}{1-a}$，$\frac{a-1}{a}$，且三个数的乘积为-1．

点评 本题主要考查元素和集合的关系，利用条件进行推理并总结规律是解决本题的关键，考查学生的推理能力．