Question

18．已知两个命题p：?x∈R，sinx+cosx＞m恒成立，q：?x∈R，y=（2m²-m）^x为增函数．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 由题意可得，命题p和命题q一个为真命题，另一个为假命题．先求得当p真q假时，实数m的取值范围，以及当p假q真时，实数m的取值范围，再把这两个范围取并集，即得所求．

解答 解：由题意若p∨q为真命题，p∧q为假命题，可得，命题p和命题q一个为真命题，另一个为假命题．
若p是真命题，：?x∈R，sinx+cosx＞m恒成立，可得$\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{4}）$＞m恒成立，即 m＜-$\sqrt{2}$，故实数m的取值范围为（-∞，-$\sqrt{2}$）．
若命题q是真命题，?x∈R，y=（2m²-m）^x为增函数，则有2m²-m＞1，
解得 m＞1，或m＜$-\frac{1}{2}$．
当p真q假时，实数m的取值范围为：∅；
当p假q真时，实数m的取值范围为：[-$\sqrt{2}$，-$\frac{1}{2}$）∪（1，+∞），
综上，所求的实数m的取值范围为：[-$\sqrt{2}$，-$\frac{1}{2}$）∪（1，+∞），

点评 本题主要考查复合命题的真假，一元二次不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．