Question

17．根据条件求解下列问题
（1）函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+2（x≤-1）}\\{{x}^{2}（-1＜x＜2）}\\{2x（x≥2）}\end{array}\right.$，若f（x）=3，求x；
（2）求函数的值域：y=$\frac{3x-1}{x+1}$．

Answer 1

分析 （1）由各段的函数值等于3求解得答案；
（2）把已知函数解析式变形，利用反比例型函数的值域求解．

解答 解：（1）由f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+2（x≤-1）}\\{{x}^{2}（-1＜x＜2）}\\{2x（x≥2）}\end{array}\right.$，且f（x）=3，得
$\left\{\begin{array}{l}{x+2=3}\\{x≤-1}\end{array}\right.$①，或$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=3}\\{-1＜x＜2}\end{array}\right.$②，或$\left\{\begin{array}{l}{2x=3}\\{x≥2}\end{array}\right.$．
解得①得：x不存在，解②得：x=$\sqrt{3}$，解③得：x不存在．
∴x=$\sqrt{3}$；
（2）y=$\frac{3x-1}{x+1}$=$\frac{3（x+1）-4}{x+1}=3-\frac{4}{x+1}$．
∵$\frac{4}{x+1}≠0$，∴3-$\frac{4}{x+1}≠3$．
故函数y=$\frac{3x-1}{x+1}$的值域为{y|y≠3}．

点评 本题考查函数的零点与方程根的关系，考查了函数值域的求法，体现了分类讨论的数学思想方法，是基础题．