Question

3．函数f（x）的图象是如图所示的折线段OAB，点A坐标为（1，2），点B坐标为（3，0），
定义函数g（x）=f（x）•（x-1），则函数g（x）最大值为1．

Answer 1

分析 先根据函数f（x）的图象求出解析式，再根据g（x）=f（x）•（x-1）求得函数g（x）的解析式，分段求出最大值，则函数g（x）最大值可求．

解答 解：如图，由图可知，
函数f（x）的解析式为：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x，0≤x≤1}\\{-x+3，1＜x≤3}\end{array}\right.$，
又∵g（x）=f（x）•（x-1），
∴函数g（x）的解析式为：
g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2{x}^{2}-2x，0≤x≤1}\\{-{x}^{2}+4x-3，1＜x≤3}\end{array}\right.$，
当0≤x≤1时，g（x）=$2（x-\frac{1}{2}）^{2}-\frac{1}{2}$，
∴g（x）_max=g（1）=g（0）=0；
当1＜x≤3时，g（x）=-（x-2）²+1≤1．
∴函数g（x）最大值为1，
故答案为：1．

点评 本题考查的是分段函数解析式的求法和分段函数求最值的求法，体现了数形结合、分类讨论及数学转化思想方法，是中档题．