Question

20．已知函数$f（x）=\frac{sinx}{x}$，在下列四个命题中：
①f（x）是奇函数；
②对定义域内任意x，f（x）＜1恒成立；
③当$x=\frac{3π}{2}$时，f（x）取极小值；
④f（2）＞f（3），
正确的是：②④．

Answer 1

分析 判断出函数的奇偶性，可判断①，求出函数的值域，可判断②；判断出函数的极值点，可判断③；利用函数的单调性，比较两个函数值，可判断④．

解答 解：①∵函数$f（x）=\frac{sinx}{x}$，
∴$f（-x）=\frac{sin（-x）}{-x}$=$\frac{-sinx}{-x}$=$\frac{sinx}{x}$=f（x），
故f（x）是偶函数，故①错误；
②∵根据三角函数线的定义知|sinx|≤|x|，
∴$\frac{\left|sinx\right|}{\left|x\right|}$≤1，
∵x≠0，
∴$\frac{sinx}{x}$＜1成立，故②正确；
③∵f′（x）=$\frac{xcosx-sinx}{{x}^{2}}$，
∵f′（$\frac{3π}{2}$）=$\frac{4}{9{π}^{2}}$≠0，
∴x=$\frac{3π}{2}$ 不是极值点，
∴③错误；
④∵$\frac{π}{2}$＜2＜3＜π，
∴sin2＞sin3＞0，
∴$\frac{sin2}{2}$＞$\frac{sin3}{3}$，∴④正确，
故答案为：②④．

点评 本题以命题的真假判断为载体考查了三角函数的奇偶性，值域，极值，单调性是三角函数图象和性质的综合应用，难度较大．