Question

10．若函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）=x²+2x．
（1）写出函数f（x）（x∈R）的解析式．
（2）若函数g（x）=f（x）-4x+2（x∈[1，2]），求函数g（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）x≤0时，f（x）=x²+2x，若x＞0，则-x＜0，结合偶函数满足f（x）=f（-x），可得x＞0时函数的解析式，综合可得答案；
（2）求出g（x）的解析式，结合二次函数的图象和性质，可得答案．

解答 解：（1）x≤0时，f（x）=x²+2x，
若x＞0，则-x＜0，
∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，
∴f（x）=f（-x）=（-x）²+2（-x）=x²-2x，
则$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}-2x，x＞0\\{x^2}+2x，x≤0.\end{array}\right.$
（2）g（x）=f（x）-4x+2=x²-2x-4x+2=x²-6x+2，x∈[1，2]，
∵y=x²-6x+2的图象是开口朝上，且以x=3为对称轴的抛物线，
故g（x）=x²-6x+2，x∈[1，2]为减函数，
当x=2时，函数g（x）取最小值-6

点评 本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，二次函数的图象和性质，难度中档．