Question

已知f（x）=

3

sin（π+ωx）sin（

3π

2

-ωx）-cos²ωx（ω＞0）的最小正周期为T=π．
（1）求f（

2π

3

）的值；
（2）在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若有（2a-c）cosB=bcosC，则求角B的大小以及
f（A）的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦定理

专题：三角函数的求值

分析：（1）先逆用两角差的正弦公式化成正弦型函数的标准形式，然后利用周期公式T=π，求ω的值，进而写出函数f（x）的解析式；求出f（

2π

3

）的值．
（2）利用正弦定理，求出cosB的值，继而求出B的大小，再根据A为三角形的内角求出A的范围，继而求出f（A）的范围．

解答： 解：（1）∵f（x）=

3

sin（π+ωx）sin（

3π

2

-ωx）-cos²ωx，
=

3

sinωxcosωx-cos²ωx，
=

3

2

sin2ωx-

1

2

cos2ωx-

1

2

，
=sin（2ωx-

π

6

）-

1

2

                    
∴函数f（x）的最小正周期为T=π．
即：

2π

2ω

=π，得ω=1，
∴f（x）=sin（2x-

π

6

）-

1

2

，
∴f（

2π

3

）=sin（2×

2π

3

-

π

6

）-

1

2

=sin

7π

6

-

1

2

=-1，
 （2）∵（2a-c）cosB=bcosC，
∴由正弦定理可得：（2sinA-sinC）cosB=sinBsinC，
∴2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA，
∵sinA＞0，
∴cosB=

1

2

，
∵B∈（0，π），
∴B=

π

3

，
∵A+C=π-B=

2

3

π，
∴A∈（0，

2

3

π），
∴2A-

π

6

∈（-

π

6

，

7π

6

），
∴sin（2A-

π

6

）∈（-

1

2

，1]，
∴f（A）=sin（2A-

π

6

）-

1

2

∈（-1，

1

2

]，

点评：本题考查了三角变换及解三角形，第（1）问解决的关键是化成正弦型函数的标准形式；第（2）的关键是把求角的范围转化成先求角的余弦值的范围．