Question

6．在平面直角坐标系xOy中，已知圆M：（x+1）²+y²=$\frac{49}{4}$的圆心为M，圆N：（x-1）²+y²=$\frac{1}{4}$的圆心为N，一动圆与圆M内切，与圆N外切．
（Ⅰ）求动圆圆心P的轨迹方程；
（Ⅱ）过点（1，0）的直线l与曲线P交于A，B两点，若$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=-2，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设动圆P的半径为r，推出|PM|+PN|=4＞|MN|，由椭圆定义知，点P的轨迹是以M、N为焦点，焦距为2，实轴长为4的椭圆，然后求解方程．
（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，直线l的方程为x=1，求出数量积．当直线的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x-1），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立$\left\{\begin{array}{l}y=k（x-1）\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}\right.$消去y，利用韦达定理转化求解数量积，求出斜率，即可得到直线l的方程．

解答 （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设动圆P的半径为r，则|PM|=$\frac{7}{2}$-r，|PN|=r+$\frac{1}{2}$．
两式相加，得|PM|+PN|=4＞|MN|，…（2分）
由椭圆定义知，点P的轨迹是以M、N为焦点，焦距为2，实轴长为4的椭圆，其方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．…（4分）
（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，直线l的方程为x=1，则$A（{1，\frac{3}{2}}）$，$B（{1，-\frac{3}{2}}）$，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=-\frac{5}{4}≠-2$．…（6分）
当直线的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x-1），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立$\left\{\begin{array}{l}y=k（x-1）\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}\right.$消去y，得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，则有${x_1}+{x_2}=\frac{{8{k^2}}}{{3+4{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{4（{k^2}-3）}}{{3+4{k^2}}}$，…（8分）$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}={x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}={x_1}{x_2}+{k^2}（{x_1}-1）（{x_2}-1）$=$（1+{k^2}）{x_1}{x_2}-{k^2}（{x_1}+{x_2}）+{k^2}$=$\frac{{-5{k^2}-12}}{{3+4{k^2}}}$．…（10分）
由已知，得$\frac{{-5{k^2}-12}}{{3+4{k^2}}}=-2$，解得$k=±\sqrt{2}$．
故直线l的方程为$y=±\sqrt{2}（x-1）$．…（12分）

点评 本题考查椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．