Question

14．已知函数f（x）=x³+3x²-9x；
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在区间[-4，c]上的最小值为-5，求c的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）通过讨论c的范围，求出函数的最小值，从而求出c的具体范围．

解答 解：（1）函数f（x）的定义域是R，
f′（x）=3x²+6x-9，
令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜-3，
令f′（x）＜0，解得：-3＜x＜1，
∴f（x）在（-∞，-3）递增，在（-3，1）递减，在（1，+∞）递增；
（2）由f（-4）=20结合（1）得：
c≥1时，函数f（x）在[-4，c]上的最小值是f（1）=-5，
-4＜c＜1时，函数f（x）在区间[-4，c]上的最小值大于-5，
故c的范围是[1，+∞）．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．