Question

2．已知A，B为抛物线C：y²=4x上的不同两点，F为抛物线C的焦点，若$\overrightarrow{FA}$=-4$\overrightarrow{FB}$，则||FA|-|FB||=（　　）

• A． $\frac{13}{4}$
• B． $\frac{7}{2}$
• C． 4
• D． $\frac{15}{4}$

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{FA}$=-4$\overrightarrow{FB}$，可得|$\overrightarrow{FA}$|=4|$\overrightarrow{FB}$|，设|$\overrightarrow{FB}$|=t，则|$\overrightarrow{FA}$|=4t，点A，B在抛物线的准线上的射影分别为A₁，B₁，过A作AM⊥BB₁，垂足为M，则|BM|=|AA₁|-|BB₁|=3t，又|AB|=|AF|+|BF|，可得|AM|=$\sqrt{|AB{|}^{2}-|BM{|}^{2}}$，可得tan∠ABM=$\frac{4}{5}$．不妨设直线AB的斜率为$\frac{4}{3}$，可得直线AB的方程，与抛物线方程联立解出即可得出．

解答 解：∵$\overrightarrow{FA}$=-4$\overrightarrow{FB}$，∴|$\overrightarrow{FA}$|=4|$\overrightarrow{FB}$|，设|$\overrightarrow{FB}$|=t，则|$\overrightarrow{FA}$|=4t，
点A，B在抛物线的准线上的射影分别为A₁，B₁
过A作AM⊥BB₁，垂足为M，则|BM|=|AA₁|-|BB₁|=|AF|-|BF|=3t，
又|AB|=|AF|+|BF|=5t，∴|AM|=$\sqrt{|AB{|}^{2}-|BM{|}^{2}}$=4t，
∴tan∠ABM=$\frac{4}{5}$．
不妨设直线AB的斜率为$\frac{4}{3}$，可得直线AB的方程为：y-0=$\frac{4}{3}$（x-1），
由$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{4x-3y-4=0}\end{array}\right.$，
化为：4x²-17x+4=0，解得x_A=4，x_B=$\frac{1}{4}$，
∴||FA|-|FB||=$\frac{15}{4}$．
故选：D．

点评 本题考查了抛物线的定义、标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题、勾股定理、直线的点斜式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．