Question

5．如图，在三菱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面A₁C₁CA和平面B₁C₁CB均为正方形，B₁C₁⊥A₁C₁，M为CC₁的中点，B₁C₁=2，点D在线段AC上运动（不含端点A、C）．
（Ⅰ）若点P在棱A₁B₁上，试确定点P的位置，使得，MP⊥AC₁，并求出此时点P的坐标；
（Ⅱ）探究：是否存在点D，使得二面角C₁-BD-C的大小为60°．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连结A₁C，取A₁C₁的中点N，A₁B₁的中点P，连结MN，PN，推导出B₁C₁⊥A₁C₁，PN⊥AC₁，由此能求出MP⊥AC₁，此时P是A₁B₁中点．
（Ⅱ）以C₁为原点，C₁A₁为x轴，C₁C为y轴，C₁B₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出存在点D（$\sqrt{2}$，2，0），使得二面角C₁-BD-C的大小为60°．

解答 解：（Ⅰ）当点P在棱A₁B₁中点位置时，MP⊥AC₁，证明如下：
连结A₁C，取A₁C₁的中点N，A₁B₁的中点P，连结MN，PN，
∵M为CC₁的中点，∴MN∥A₁C，PN∥B₁C₁，
∵在三菱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面A₁C₁CA和平面B₁C₁CB均为正方形，B₁C₁⊥A₁C₁，
∴A₁C⊥AC₁，B₁C₁⊥平面A₁ACC₁，
∴MN⊥AC₁，PN⊥AC₁，
∵MN∩PN=N，∴AC₁⊥平面PMN，
∵MP?平面PMN，∴MP⊥AC₁，此时P是A₁B₁中点．
（Ⅱ）以C₁为原点，C₁A₁为x轴，C₁C为y轴，C₁B₁为z轴，建立空间直角坐标系，
则C₁（0，0，0），B（0，2，2），设D（t，2，0），0＜t＜2，
则$\overrightarrow{{C}_{1}B}$=（0，2，2），$\overrightarrow{{C}_{1}D}$=（t，2，0），
设平面C₁BD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{C}_{1}B}=2y+2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{C}_{1}D}=tx+2y=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（-$\frac{2}{t}$，1，-1），
平面BCD的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，1，0），
∵二面角C₁-BD-C的大小为60°，
∴cos60°=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{\frac{4}{{t}^{2}}+2}}$=$\frac{1}{2}$，解得t=$\sqrt{2}$，
∴存在点D（$\sqrt{2}$，2，0），使得二面角C₁-BD-C的大小为60°．

点评 本题考查满足结线垂直的点的位置的判断与求法，考查满足二面角为60°的点是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．