Question

已知两个向量集合

M

={

a

|

a

=（cosα，

7-cos2α

2

），α∈R}，

N

={

b

|

b

=（cosβ，λ+sinβ），β∈R}，若M∩N≠∅，则λ的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：交集及其运算

专题：集合

分析：由已知得cosα=cosβ，（3+sin²α）-λ=sinβ，从而（3+sin²α）-λ=sinα或（3+sin²α）-λ=-sinα，由此能求出λ∈[

11

4

，5]．

解答： 解：∵M∩N≠∅，
∴存在向量a∈M，b∈N，使得a=b，
即cosα=cosβ，①
且

1

2

（7-cos2α）=λ+sinβ，
即（3+sin²α）-λ=sinβ，②
①²+②²：cos²α+[（3+sin²α）-λ]²=1
[（3+sin²α）-λ]²=sin²α，
（3+sin²α）-λ=sinα或（3+sin²α）-λ=-sinα，
λ=sin²α-sinα+3或λ=sin²α+sinα+3，
λ=sin²α-sinα+3=（sinα-1/2）²+

11

4

∈[

11

4

，5]
λ=sin²α+sinα+3=（sinα+

1

2

）²+

11

4

∈[

11

4

，5]
∴λ∈[

11

4

，5]．
故答案为：[

11

4

，5]．

点评：本题考查满足条件的实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要注意交集性质的合理运用．