Question

棱长都相等的三棱锥（正四面体）A-BCD中，AO⊥平面BCD，垂足为O，设M是线段AO上一点，且∠BMC是直角，则

AM

MO

的值为

 

．

Answer 1

考点：棱锥的结构特征

专题：空间位置关系与距离

分析：延长BO，交CD于点N，可得BN⊥CD且N为CD中点，设正四面体ABCD棱长为1，MO=x，在Rt△BOM中，根据BM=

2

2

，建立关于x的方程并解之，得x=

6

6

，再结合正四面体的高AO=

6

3

，得出MO=AM=

6

6

，从而得到所求的比值．

解答： 解：延长BO，交CD于点N，可得BN⊥CD且N为CD中点
设正四面体ABCD棱长为1，得
等边△ABC中，BN=

3

2

，
∵AO⊥平面BCD，
∴O为等边△BCD的中心，得BO=

3

3

，
Rt△ABO中，AO=

6

3

，
设MO=x，则Rt△BOM中，BM=

1 3 +x2

，
∵∠BMC=90°，得△BMC是等腰直角三角形，
∴BM=AM=

2

2

BC，即

1 3 +x2

=

2

2

，
解之得x=

6

6

，
由此可得AM=AO-MO=

6

6

，
∴MO=AM=

6

6

，得

AM

MO

=1
故答案为：1

点评：本题给出正四面体ABCD高线上一点M，使得三角形BCM是等腰直角三角形，求M分高线的比值，着重考查了正四面体的性质和线面垂直位置关系的认识等知识，属于中档题．