Question

【题目】在直角坐标系中，已知动直线的参数方程：，（为参数，） ，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；

（Ⅱ）若直线与曲线恰好有2个公共点时，求直线的一般方程.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) 曲线的直角坐标方程为或；（Ⅱ）或

【解析】

（Ⅰ）解极坐标方程得到或，再化为直角坐标方程.

(Ⅱ)由题意可知：直线与直线总有一个公共点，又与直线有一个切点，分直线恰过点与不过两种情况，分别求得直线的方程即可.

（Ⅰ）由得

，

所以或，

即曲线的直角坐标方程为或.

(Ⅱ)由参数方程的意义可知：

直线过且倾斜角为，且，

易知直线与直线总有一个公共点，

又单位圆与直线有一个切点，

当直线恰过点时，

此时直线的方程为，满足与曲线恰好有2个公共点；

当直线不过点时，则与单位圆必相切，此时，

设直线，则有，

解得，又，故，

此时直线的方程为：；

综上可得，满足条件的直线的一般方程为或.