题目内容
【题目】如图，在菱形
中，
，
，对角线
与
交于点
，点
，
分别在
，
上，满足
，
交于点
.将
沿折到
的位置， 
.
（Ⅰ）证明：
；
（Ⅱ）求
与平面
所成的角的正弦值.
【答案】(Ⅰ)详见解析（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）证明
及
，从而证明
平面
，问题得证。
（Ⅱ）以
为坐标原点，分别以
，
，
的方向为
，
，
轴的正方向，建立空间直角坐标系.求出平面
的一个法向量
，与
所成角的余弦值的绝对值就是
与平面所成的角的正弦值.再利用向量夹角公式即可求解。
（Ⅰ）证明：由菱形性质得
， 
，由勾股定理可得
，又已知
，可得
.因此
，从而，由
得
，
，又
，所以有
，即，所以平面，所以
得证.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，直线
，
，
两两相互垂直，如图，以为坐标原点，分别以，，的方向为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系.
则
，
，
，
，
，
，
，
，设
是平面的一个法向量，则
即
解得
，
，所以可取.设
与平面
所成的角为
，则
.
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