Question

【题目】矩形中，，，点为中点，沿将折起至，如图所示，点在面的射影落在上.

（1）求证：面面；

（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）详见解析（2）

【解析】

（1）首先可通过题目所给条件证出面即，再通过和可证面，最后即可证明出面面；

（2）首先可构造平面直角坐标系，然后求出面的法向量和面的法向量，最后通过平面与平面所成锐二面角与互补即可得出结果。

（1）在四棱锥中，，，从而有，

又因为面，而面，所以，

而、面，且，由线面垂直定理可证面

又面，由面面垂直判断定定理即证面面

（2）由条件知面，过点做的平行线，又由（1）知面，

以、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，

如图所示：

，，，，，

面的一个法向量为，

设面的法向量为，则有，

从而可得面的一个法向量为，，

设平面与平面所成锐二面角为，与互补，则，

故平面与平面所成二面角的余弦值为。