Question

【题目】已知向量 =（cosα，﹣1）， =（2，sinα），其中 ，且 ．
（1）求cos2α的值；
（2）若sin（α﹣β）= ，且 ，求角β．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵向量 =（cosα，﹣1）， =（2，sinα），其中 ，且 ．

∴ =2cosα﹣sinα=0，

∴sin2α+cos2α=5cos2α=1，∴cos2α= ，

∴cos2α=2cos2α﹣1=﹣ ．

（2）解：∵cos2α= ， ，∴cosα= ，sinα= = ，

∵sin（α﹣β）= ，且 ，∴sinαcosβ﹣cosαsinβ= ，

∴2cosβ﹣sinβ= ，∴sinβ=2cos ，∴sin2β+cos2β=5cos2β﹣2 ﹣ =0，解得cosβ= 或cosβ=﹣ （舍），

∵ ，∴β=

【解析】1、由向量垂直的坐标表示可求得cos2α= 再根据二倍角公式得到结果。
2、根据同角三角函数的基本关系可得sinα的值，再由两角和差的正弦公式得到sinβ=2cos β 的关系，代入sin2β+cos2β=1解得cosβ=，再由 β的范围可得 β=。

【考点精析】根据题目的已知条件，利用数量积判断两个平面向量的垂直关系的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握若平面的法向量为，平面的法向量为，要证，只需证，即证;即：两平面垂直两平面的法向量垂直．