Question

甲、乙两人进行投篮，每人各投4个球，甲投篮命中的概率为

1

2

，乙投监命中的概率为

2

3

，两人相互不受影响，每次投篮结果也不受影响．
（1）求甲至多命中2个且乙至少命中3个的概率；
（2）若规定每投篮一次命中得3分，未命中和-1分，求乙所得分数η的分布列与期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,相互独立事件的概率乘法公式

专题：计算题

分析：（1）先求出甲至多命中2个的概率和乙至少命中3个的概率，再求甲至多命中2个且乙至少命中3个的概率．
（2）由题设知η的取值为-4，0，4，8，12，分别求出P（η=-4），P（η=0），P（η=4），P（η=8）和P（η=12）的值，由此能求出η的分布列和Eη．

解答： 解：（1）甲至多命中2个的概率为：1-

C

3 4

(

1

2

)3•

1

2

-

C

4 4

(

1

2

)4=

11

16

，
乙至少命中3个的概率为：

C

3 4

(

2

3

)3•

1

3

+

C

4 4

(

2

3

)4=

16

27

，
∴甲至多命中2个且乙至少命中3个的概率P=

11

16

×

16

27

=

11

27

．
（2）由题设知η的取值为-4，0，4，8，12，
P（η=-4）=

C

0 4

(1-

2

3

)4=

1

81

，
P（η=0）=

C

1 4

•

2

3

•(1-

2

3

)3=

8

81

，
P（η=4）=

C

2 4

(

2

3

)2(1-

2

3

)2=

24

81

，
P（η=8）=

C

3 4

(

2

3

)3(1-

2

3

)=

32

81

，
P（η=12）=

C

4 4

(

2

3

)4=

16

81

．
∴η的分布列为：

η	-4	0	4	8	12
P	1 81	8 81	24 81	32 81	16 81

Eη=-4×

1

81

+0×

8

81

+4×

24

81

+8×

32

81

+12×

16

81

=

20

3

．

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，是历年高考的必考题型．解题时要认真审题，注意概率知识和排列组合知识的灵活运用．