Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1与抛物线y²=2px（p＞0）有公共焦点F（c，0）（c∈N^*），M是它们的一个交点，S_△MOF=2

6

，且|MF|=5．
（1）求椭圆及抛物线的方程；
（2）是否存在过F的直线l被椭圆及抛物线截得的弦长相等，若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,存在型,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）求出抛物线的焦点，准线方程，运用抛物线的定义得到M的横坐标，再由面积公式，得到M的纵坐标，代入抛物线方程，即可解得，p=4，进而得到a，b，c，得到椭圆方程和抛物线方程；
（2）设出直线l的方程，联立抛物线方程和椭圆方程，消去y，得到x的方程，运用韦达定理和弦长公式，列出等式，解得即可．

解答： 解：（1）抛物线y²=2px（p＞0）的焦点（

p

2

，0），
准线方程x=-

p

2

，则由抛物线的定义，可得，|MF|=x_M+

p

2

=5，
即有x_M=5-

p

2

，设M在第一象限，
又S_△MOF=2

6

，则有

1

2

•

p

2

•y_M=2

6

．
即有y_M=

8 6

p

，再代入抛物线方程，可得，

384

p2

=10p-p²，（由于c∈N^*，则p为偶数），
解得，p=4．则有c=2，M（3，2

6

），
即有a²-b²=4，

9

a2

+

24

b2

=1．
解得，a²=36，b²=32．
则椭圆方程为：

x2

36

+

y2

32

=1，抛物线方程为：y²=8x；
（2）假设存在过F的直线l被椭圆及抛物线截得的弦长相等．
则设直线l：y=k（x-2），代入抛物线方程，得到，
k²x²-（4k²+8）x+4k²=0，设交点的横坐标为x₁，x₂，
则有x₁+x₂=

4k2+8

k2

，
由抛物线的定义可得，弦长为：x₁+x₂+4=8+

8

k2

，
联立椭圆方程，消去y，得，（8+9k²）x²-36k²x+36k²-288=0，
设交点的横坐标为x₃，x₄，则x₃+x₄=

36k2

8+9k2

，
由椭圆的第二定义可得，弦长为：a-ex₃+a-ex₄=2a-e（x₃+x₄）
=12-

1

3

•

36k2

8+9k2

=

96+96k2

8+9k2

由8+

8

k2

=

96+96k2

8+9k2

，解得，k²=

8

3

，解得，k=±

2 6

3

．
则存在过F的直线l：y=±

2 6

3

（x-2），被椭圆及抛物线截得的弦长相等．

点评：本题考查椭圆和抛物线的方程和定义及性质，考查联立直线方程和抛物线方程、椭圆方程消去未知数，运用韦达定理和弦长公式，考查运算能力，属于中档题．