Question

已知1≤x²+y²≤2，求证：

1

2

≤x²-xy+y²≤3．

Answer 1

考点：不等式的证明,三角函数的最值

专题：推理和证明

分析：设x=rcosθ，y=rsinθ，其中1≤r²≤2，0≤θ＜2π，化简x²-xy+y²=r²-r²sin2θ=r²（1-

1

2

sin2θ），通过三角函数的有界性证明

1

2

≤x²-xy+y²≤3．

解答： （文）证明：∵1≤x²+y²≤2，∴可设x=rcosθ，y=rsinθ，其中1≤r²≤2，0≤θ＜2π
∴x²-xy+y²=r²-r²sin2θ=r²（1-

1

2

sin2θ），
∵

1

2

≤1-

1

2

sin2θ≤

3

2

，∴

1

2

r²≤r²（1-

1

2

sin2θ）≤

3

2

r²，

而

1

2

r²≥

1

2

，

3

2

r²≤3∴

1

2

≤x²-xy+y²≤3．

点评：本题考查不等式的证明，三角函数的有界性的应用，三角函数的最值，考查计算与推理能力．