Question

3．非零向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$满足$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|，则向量$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$夹角的余弦值为（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 对式子$\sqrt{3}|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|$两边分别平方便可得出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=0$，${\overrightarrow{b}}^{2}=2{\overrightarrow{a}}^{2}$，可设向量$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$的夹角为θ，这样根据向量夹角的余弦公式即可求得$cosθ=\frac{1}{3}$．

解答 解：$\sqrt{3}|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|$；
∴$3{\overrightarrow{a}}^{2}={\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}={\overrightarrow{a}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$$+{\overrightarrow{b}}^{2}$；
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=0，{\overrightarrow{b}}^{2}=2{\overrightarrow{a}}^{2}$；
设$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$的夹角为θ，则：$cosθ=\frac{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）•（\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}）}{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}||\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}|}=\frac{{\overrightarrow{b}}^{2}-{\overrightarrow{a}}^{2}}{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}{|}^{2}}$=$\frac{{\overrightarrow{b}}^{2}-{\overrightarrow{a}}^{2}}{{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}}=\frac{{\overrightarrow{a}}^{2}}{3{\overrightarrow{a}}^{2}}=\frac{1}{3}$．
故选A．

点评 考查向量数量积的运算，以及向量夹角的余弦公式．