Question

12．如图，在△ABC中，|$\overrightarrow{AB}$|=3，|$\overrightarrow{AC}$|=1，BC中点为D，E为线段AD上的任意一点．
（1）求$\overrightarrow{AD}$•（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$）的值；
（2）若AC⊥BC，求$\overrightarrow{AE}$•（$\overrightarrow{EB}$+$\overrightarrow{EC}$）的最大值．

Answer 1

分析 （1）运用向量的中点表示和向量的平方即为模的平方，计算即可得到所求值；
（2）运用勾股定理，可得AD=$\sqrt{3}$，再由中点的斜率表示和向量的数量积的定义，结合基本不等式，即可得到所求的最大值．

解答 解：（1）由AD为△ABC的中线，可得
$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$），
则$\overrightarrow{AD}$•（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$）=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）•（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$）=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$²-$\overrightarrow{AC}$²）
=$\frac{1}{2}$×（3²-1²）=4；
（2）AC⊥BC，即有BC²=AB²-AC²=9-1=8，
可得BC=2$\sqrt{2}$，CD=$\sqrt{2}$，
AD²=AC²+CD²=1+2=3，即AD=$\sqrt{3}$，
则$\overrightarrow{AE}$•（$\overrightarrow{EB}$+$\overrightarrow{EC}$）=$\overrightarrow{AE}$•2$\overrightarrow{ED}$
=2|$\overrightarrow{AE}$|•|$\overrightarrow{ED}$|•cos0=2|$\overrightarrow{AE}$|•|$\overrightarrow{ED}$|，
设|$\overrightarrow{AE}$|=t（0≤t≤$\sqrt{3}$），则|$\overrightarrow{ED}$|=$\sqrt{3}$-t，
即有$\overrightarrow{AE}$•（$\overrightarrow{EB}$+$\overrightarrow{EC}$）=2t（$\sqrt{3}$-t）≤2•（$\frac{t+\sqrt{3}-t}{2}$）²=$\frac{3}{2}$，
当且仅当t=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即E为AD的中点时，取得最大值$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查向量的数量积的定义和性质，考查最值的求法，注意运用换元法结合基本不等式，考查运算能力，属于中档题．