Question

已知动圆P与圆O₁：（x+2

2

）²+y²=1外切，与圆O₂：（x-2

2

）²+y²=9内切．
（1）求动圆圆心P的轨迹方程；
（2）已知直线y=kx+1与P的轨迹方程相交于不同的两点，求k的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,轨迹方程

专题：直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设出动圆圆心P的坐标，利用已知条件列出方程即可求出轨迹方程；
（2）联立直线y=kx+1与P的轨迹方程组成方程组，设出相交于不同的两点的坐标，利用韦达定理，结合已知条件列出不等式组，即可求k的取值范围．

解答： 解：（1）如图：设动圆圆心P坐标（x，y），r为动圆P的半径，
∵动圆p与圆O₁外切，可得|PO₁|=r+1．
动圆P与圆O₂内切可得|PO₂|=r-3．
∴两式相减得|PO₁|-|PO₂|=4＜4

2

=|O₁O₂|，
∴动圆圆心P的轨迹是以O₁（-2

2

，0）、O₂（2

2

，0）、为焦点，实轴2a=4的双曲线的右支，
又　b²=（2

2

）²-2²=4，
∴动圆圆心P的轨迹方程：

x2

4

-

y2

4

=1(x≥2)．…（6分）
（2）联立

y=kx+1 x2-y2=4

，消去y整理得：（1-k²）x²-2kx-5=0，…①
∵直线y=kx+1与点P的轨迹相交于不同的两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴△=（-2k）²-4（1-k²）（-5）=20-16k²，x₁+x₂=

2k

1-k2

，x₁•x₂=

-5

1-k2

．
…（10分）
等价于方程①有两个不相等的正实根x₁，x₂，
可得

1-k2≠0 △=20-16k2＞0 x1+x2＞0 x1•x2＞0

，即

k2≠1 k2＜ 5 4 2k 1-k2 ＞0 -5 1-k2 ＞0

，解得k∈(-

5

2

，-1)
∴k的取值范围(-

5

2

，-1)．             …（13分）

点评：本题考查轨迹方程的求法，直线与双曲线的综合应用，考查转化思想以及计算能力．